Question

7．已知f（x）=x³-3x，并设：
p：?c∈R，f（f（x））=c至少有3个实根；
q：当c∈（-2，2）时，方程f（f（x））=c有9个实根；
r：当c=2时，方程f（f（x））=c有5个实根．
则下列命题为真命题的是（　　）

• A． ￢p∨￢r
• B． ￢q∧r
• C． 仅有r
• D． p∧q

Answer 1

分析 求出f（x）的导数和单调区间、极值，画出图象，令t=f（x），f（t）=c，讨论c的范围，结合函数f（x）的图象判断p假，q，r为真，再由复合命题的真假判断，即可得到答案．

解答 解：f（x）=x³-3x的导数为f′（x）=3x²-3，
当x＞1或x＜-1时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．
可得f（-1）=2取得极大值，f（1）取得极小值-2．
作出y=f（x）的图象（如右）：
令t=f（x），
对于p：?c∈R，f（f（x））=c至少有3个实根，
即有f（t）=c，若c＞2，则t＞2，此时f（x）=t只有一解，故p为假命题；
对于q：当c∈（-2，2）时，方程f（f（x））=c有9个实根，
由t=f（x），f（t）=c在（-2，2）内有三个解，在x轴上方不妨设-$\sqrt{3}$＜t₁＜-1＜t₂＜0＜1＜t₃＜2，
由图象可得f（x）=t共有9个实根，故q为真命题；
对于r：当c=2时，方程f（f（x））=c有5个实根，
由t=f（x），f（t）=2，可得t=-1和2，
由图象可得f（x）=-1有3个实根，f（x）=2有2个实根，共有5个实根．故r为真命题．
则￢p∨￢r为真命题；￢q∧r，仅有r，p∧q均为假命题．
故选：A．

点评 本题考查命题的真假判断，主要是考查函数的单调性和极值，以及换元思想和数形结合思想，考查复合命题的真假，以及判断能力，属于中档题．