Question

2．定义在R上的函数y=f（x）在（-∞，a）上是增函数，函数y=f（x+a）是偶函数，当x₁＜x₂且x₁+x₂＞2a时，有（　　）

• A． f（2a-x₁）＜f（2a-x₂）
• B． f（2a-x₁）＞f（2a-x₂）
• C． f（2a-x₁）=f（2a-x₂）
• D． 以上都不正确

Answer 1

分析 根据题意，分析可得，函数f（x）的图象关于直线x=a对称，且在区间（a，+∞）为减函数，再由x₁＜x₂且x₁+x₂＞2a，分析可得|x₁-a|＜|x₂-a|，我们分别判断2a-x₁与2a-x₂到函数图象对称轴的距离，即|a-（2a-x₁）|，|a-（2a-x₂）|的大小，再根据离对称轴近的函数值大，即可得到答案．

解答 解：根据题意，若函数y=f（x+a）是偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称，
又由函数y=f（x）在（-∞，a）上是增函数，则其在区间（a，+∞）为减函数，
若x₁＜x₂且x₁+x₂＞2a，则有|x₁-a|＜|x₂-a|，
|a-（2a-x₁）|=|x₁-a|＜|a-（2a-x₂）|=|x₂-a|
∴f（2a-x₁）＞f（2a-x₂）；
故选：B．

点评 本题考查函数奇偶性的性质，涉及函数单调性的性质，其中根据已知条件，分析得到函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称是解答本题的关键．