Question

14．已知函数f（x）=x+1+|3-x|，x≥-1．
（I）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，由绝对值的性质可以将f（x）≤6转化可得$\left\{\begin{array}{l}{x-1+（3-x）≤6}\\{-1≤x＜3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x+1+（x-3）≤6}\\{x≥3}\end{array}\right.$，解可得x的范围，即可得答案；
（Ⅱ）根据题意，由函数f（x）的解析式分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；进而可得正数a，b满足8ab=a+2b，即$\frac{1}{b}$+$\frac{2}{a}$=8，将2a+b变形可得2a+b=$\frac{1}{8}$（$\frac{2a}{b}$+$\frac{2b}{a}$+5），由基本不等式的性质可得2a+b的最小值，即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）=x+1+|3-x|，x≥-1．
若f（x）≤6，则有$\left\{\begin{array}{l}{x-1+（3-x）≤6}\\{-1≤x＜3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x+1+（x-3）≤6}\\{x≥3}\end{array}\right.$，
解可得-1≤x≤4，
故原不等式的解集为{x|-1≤x≤4}；
（Ⅱ）函数f（x）=x+1+|3-x|=$\left\{\begin{array}{l}{4，-1≤x＜3}\\{2x-2，x≥3}\end{array}\right.$，
分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；
则正数a，b满足8ab=a+2b，即$\frac{1}{b}$+$\frac{2}{a}$=8，
2a+b=$\frac{1}{8}$（$\frac{1}{b}$+$\frac{2}{a}$）（2a+b）=$\frac{1}{8}$（$\frac{2a}{b}$+$\frac{2b}{a}$+5）≥$\frac{1}{8}$（5+2$\sqrt{\frac{2a}{b}•\frac{2b}{a}}$）=$\frac{9}{8}$；
即2a+b的最小值为$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，涉及基本不等式的性质与应用，关键是正确求出函数f（x）的最小值．