Question

4．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E，F，H分别是棱PA，PB，AD的中点，且过E，F，H的平面截四棱锥P-ABCD所得截面面积为$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，则四棱锥P-ABCD的体积为（　　）

• A． $\frac{8}{3}$
• B． 8
• C． $8\sqrt{3}$
• D． $24\sqrt{3}$

Answer 1

分析 取BC中点M，连结FM，HM，推导出平面EFMH是过E，F，H的平面截四棱锥P-ABCD所得截面，设PA=AB=a，则S_梯形EFMH=$\frac{1}{2}（\frac{a}{2}+a）×\frac{\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，求出a=2，由此能求出四棱锥P-ABCD的体积．

解答 解：取BC中点M，连结FM，HM，
∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，
PA=AB，E，F，H分别是棱PA，PB，AD的中点，
∴EF∥AB∥MH，∴EF⊥EH，MH⊥EH，
平面EFMH是过E，F，H的平面截四棱锥P-ABCD所得截面，
设PA=AB=a，
∵过E，F，H的平面截四棱锥P-ABCD所得截面面积为$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
∴S_梯形EFMH=$\frac{1}{2}（EF+MH）×EH$=$\frac{1}{2}（\frac{a}{2}+a）×\frac{\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
解得a=2，
∴四棱锥P-ABCD的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{正方形ABCD}×SA$=$\frac{1}{3}×2×2×2$=$\frac{8}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查柱、锥、台体的体积的求法，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．