Question

14．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，${S_n}=\frac{{3{a_n}-3}}{2}$（n∈N₊）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足a_n•b_n=log₃a_4n+1，记T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求证：${T_n}＜\frac{7}{2}$（n∈N₊）．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系：当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，及其等比数列的通项公式即可得出；
（2）求出b_n=$\frac{4n+1}{{a}_{n}}$=（4n+1）（$\frac{1}{3}$）ⁿ，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）解：由${S_n}=\frac{{3{a_n}-3}}{2}$（n∈N₊）．
当n=1时，a₁=S₁，2S₁+3=3a₁，得a₁=3．
n=2时，2S₂+3=3a₂，即有2（a₁+a₂）+3=3a₂，解得a₂=9．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，
∵2S_n+3=3a_n（n∈N^*），2S_n-1+3=3a_n-1，
两式相减可得2a_n=3a_n-3a_n-1，
∴a_n=3a_n-1，
∴数列{a_n}是以3为首项，3为公比的等比数列．
∴a_n=3ⁿ．对n=1也成立．
故数列{a_n}的通项公式为a_n=3ⁿ．
（2）证明：由a_n•b_n=log₃a_4n+1=log₃3⁴ⁿ⁺¹=4n+1，
得b_n=$\frac{4n+1}{{a}_{n}}$=（4n+1）（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
∴T_n=T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=5•$\frac{1}{3}$+9•（$\frac{1}{3}$）²+…+（4n+1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
$\frac{1}{3}$T_n=5•（$\frac{1}{3}$）²+9•（$\frac{1}{3}$）³+…+（4n+1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
两式相减得，$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{5}{3}$+4×[（$\frac{1}{3}$）²+（$\frac{1}{3}$）³+…+（$\frac{1}{3}$）ⁿ]-（4n+1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{5}{3}$+4×$\frac{\frac{1}{9}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-（4n+1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
化简可得T_n=$\frac{7}{2}$-$\frac{1}{2}$（4n+7）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ＜$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查了利用递推关系求通项公式的技巧，同时也考查了用错位相减法求数列的前n项和．重点突出运算、论证、化归能力的考查，属于中档难度．