Question

1．当函数f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx-t（t∈R）在闭区间[0，2π]上，恰好有三个零点时，这三个零点之和为（　　）

• A． $\frac{10π}{3}$
• B． $\frac{8π}{3}$
• C． $\frac{7π}{3}$
• D． 2π

Answer 1

分析 令f（x）=0得sin（x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{t}{2}$，根据三角函数的图象与性质求出三个零点即可．

解答 解：f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）-t，
令f（x）=0得sin（x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{t}{2}$，
做出y=sin（x+$\frac{π}{6}$）在[0，2π]上的函数图象如图所示：

∵f（x）在[0，2π]上恰好有3个零点，
∴$\frac{t}{2}$=sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$，
解方程sin（x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$得x=0或x=2π或x=$\frac{2π}{3}$．
∴三个零点之和为0+2π+$\frac{2π}{3}$=$\frac{8π}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质，函数零点与函数图象的关系，属于中档题．