Question

16．已知关于x的不等式|x-m|≤n的解集为{x|0≤x≤4}．
（1）求实数m、n的值；
（2）设a＞0，b＞0，且a+b=$\frac{m}{a}$+$\frac{n}{b}$，求a+b的最小值．

Answer 1

分析 （1）先解绝对值不等式，再根据不等式的解集即可求出m，n的值，
（2）先化简a+b=$\frac{m}{a}$+$\frac{n}{b}$=$\frac{2}{a}$+$\frac{2}{b}$=$\frac{2（a+b）}{ab}$，得到ab=2，再根据基本不等式即可求出答案．

解答 解：（1）|x-m|≤n的解为m-n＜x＜m+n，关于x的不等式|x-m|≤n的解集为{x|0≤x≤4}．
∴m-n=0，m+n=4，
解得m=n=2，
（2）设a＞0，b＞0，且a+b=$\frac{m}{a}$+$\frac{n}{b}$=$\frac{2}{a}$+$\frac{2}{b}$=$\frac{2（a+b）}{ab}$，
即ab=2，
∴a+b≥2$\sqrt{ab}$=2$\sqrt{2}$，当且仅当a=b=$\sqrt{2}$时取等号，
故a+b的最小值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式的应用，属于基础题．