Question

9．设$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2{e^{x-1}}，x＜2\\{log_3}（{x^2}-1），x≥2\end{array}\right.$则f（f（1））=1，不等式f（x）＞2的解集为$（1，2）∪（\sqrt{10}，+∞）$．

Answer 1

分析 根据函数的解析式求出f（1）的值是2，从而求出f（2）的值即可；不等式f（x）＞2即2e^x-1＞2或log₃（x²-1）＞2，即e^x-1＞1=e⁰，或x²-1＞9，解出即可．

解答 解：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2{e^{x-1}}，x＜2\\{log_3}（{x^2}-1），x≥2\end{array}\right.$，
f（1）=2•e^1-1=2，
故f（f（1））=f（2）=log₃（4-1）=1，
若f（x）＞2，
则2e^x-1＞2（x＜2）或log₃（x²-1）＞2（x≥2），
即e^x-1＞1=e⁰，或x²-1＞9，
解得：1＜x＜2或x＞$\sqrt{10}$，
故答案为：1，$（1，2）∪（\sqrt{10}，+∞）$

点评 本题考查了解指数、对数不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．