Question

17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x，0＜x＜1\\ \frac{1}{x}，x≥1\end{array}$，g（x）=af（x）-|x-1|．
（Ⅰ）当a=0时，若g（x）≤|x-2|+b对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围；
（Ⅱ）当a=1时，求g（x）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=0时，若g（x）≤|x-2|+b对任意x∈（0，+∞）恒成立，-b≤|x-1|+|x-2|，求出右边的最小值，即可求实数b的取值范围；
（Ⅱ）当a=1时，g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，即可求g（x）的最大值．

解答 解：（Ⅰ）当a=0时，g（x）=-|x-1|，∴-|x-1|≤|x-2|+b，
∴-b≤|x-1|+|x-2|，
∵|x-1|+|x-2|≥|x-1+2-x|=1，∴-b≤1，∴b≥-1…（5分）
（Ⅱ）当a=1时，$g（x）=\left\{\begin{array}{l}2x-1，0＜x＜1\\ \frac{1}{x}-x+1，x≥1\end{array}\right.$…（6分）
可知g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减 …（8分）
∴g（x）_max=g（1）=1．…（10分）

点评 本题考查绝对值不等式，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．