Question

1．已知点A是抛物线M：y²=2px（p＞0）与圆$C：{x^2}+{（y-2\sqrt{2}）^2}={a^2}$在第一象限的公共点，且点A到抛物线M焦点F的距离等于a．若抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，则p为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $2\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 求得圆的圆心和半径，运用抛物线的定义可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点，设出A，C，F的坐标，代入抛物线的方程可得p，由抛物线的定义可得P．

解答 解：圆C：x²+（y-4）²=a²的圆心C（0，2$\sqrt{2}$），半径为a，|AC|+|AF|=2a，
由抛物线M上一动点M到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，
由抛物线的定义可得动点到焦点与到点C的距离之和的最小值为2a，
点M在A处取最小值，可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点
由D（0，2$\sqrt{2}$），F（$\frac{p}{2}$，0），可得A（$\frac{p}{4}$，$\sqrt{2}$），
代入抛物线的方程可得2=2p×$\frac{p}{4}$，解得p=2．
故选：B

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，注意运用抛物线的定义和三点共线和最小，考查运算能力，属于中档题．