Question

12．（1）设函数f（x）=|x-2|+|x+a|，若关于x的不等式f（x）≥3在R上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，求$\frac{3}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）关于x的不等式f（x）≥3在R上恒成立，等价于f（x）_min≥3，即可求实数a的取值范围；
（2）已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，$\frac{3}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}=（x+2y+3z）（\frac{3}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}）$，利用柯西不等式，即可求$\frac{3}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}$的最小值．

解答 解：（1）f（x）=|x-2|+|x+a|≥|x-2-x-a|=|a+2|
∵原命题等价于f（x）_min≥3，|a+2|≥3，∴a≤-5或a≥1．（5分）
（2）由于x，y，z＞0，所以$\frac{3}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}=（x+2y+3z）（\frac{3}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}）$$≥{（\sqrt{x}\sqrt{\frac{3}{x}}+\sqrt{2y}\sqrt{\frac{2}{y}}+\sqrt{3z}\sqrt{\frac{1}{z}}）^2}={（\sqrt{3}+2+\sqrt{3}）^2}=16+8\sqrt{3}$
当且仅当$\frac{x}{{\frac{3}{x}}}=\frac{2y}{{\frac{2}{y}}}=\frac{3z}{{\frac{1}{z}}}$，即$x：y：z=3：\sqrt{3}：1$时，等号成立．
∴$\frac{3}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}$的最小值为$16+8\sqrt{3}$．（10分）

点评 本题考查不等式恒成立问题，考查柯西不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．