Question

11．已知实数x，y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{x≤2}\\{x+y≥2}\\{2x-y≥2}\end{array}\right.$，则$\frac{y+x}{y+2x}$的取值范围是（　　）

• A． [0，1]
• B． [$\frac{1}{3}$，1]
• C． [$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]
• D． [$\frac{1}{2}$，1]

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，求出$\frac{y}{x}$的范围，把$\frac{y+x}{y+2x}$化为$\frac{1+\frac{y}{x}}{1+\frac{y}{x}}$求解．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≤2}\\{x+y≥2}\\{2x-y≥2}\end{array}\right.$作出可行域如图，

令t=$\frac{y}{x}$，则t的最小值为0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{2x-y=2}\end{array}\right.$，解得B（2，2），∴t的最大值为1，
∴$\frac{y+x}{y+2x}$=$\frac{1+\frac{y}{x}}{2+\frac{y}{x}}=\frac{1+t}{2+t}$=$\frac{2+t-1}{2+t}=1-\frac{1}{2+t}$∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]．
故选：C．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用分式的性质以及换元法是解决本题的关键．注意数形结合，是中档题．