Question

2．已知等差数列{b_n}和各项都是正数的数列{a_n}，且a₁=b₁=1，b₂+b₄=10，满足a_n²-2a_na_n+1+a_n-2a_n+1=0
（1）求{a_n}和{b_n}通项公式；
（2）设c_n=$\frac{1}{a_n}+{b_n}$，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）由已知得到等差数列{b_n}的公差的方程解之；结合a_n²-2a_na_n+1+a_n-2a_n+1=0，得到（a_n+1）a_n=2a_n+1（a_n+1），数列{a_n}是以1为首项$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，得到通项公式．
（2）首项得到数列{c_n}的通项公式，利用错位相减法求和．

解答 解：（1）因为等差数列{b_n}a₁=b₁=1，b₂+b₄=10，满足a_n²-2a_na_n+1+a_n-2a_n+1=0，
所以2b₁+4d=10，解得d=2，所以b_n=2n-1；
由a_n²-2a_na_n+1+a_n-2a_n+1=0，得到（a_n+1）a_n=2a_n+1（a_n+1），
数列{a_n}各项都是正数，所以$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{1}{2}$，
所以数列{a_n}是以1为首项$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，所以a_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
（2）设c_n=$\frac{1}{a_n}+{b_n}$=2^n-1+2n-1，
所以数列{c_n}的前n项和${S}_{n}=（{2}^{0}+{2}^{1}+{2}^{2}+…+{2}^{n-1}）$+2（1+2+3+…+n）-n
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}+2×\frac{n（n+1）}{2}-n$=2ⁿ+n²-1．

点评 本题考查了等差数列和等比数列通项公式的求法以及利用错位相减法对数列求和；属于经常考查题型．