Question

11．已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=4，直线l过定点A（1，0）．
（1）若l与圆C相切，求l的方程；
（2）若l与圆C相交于P，Q两点，求△CPQ的面积的最大值，并求此时直线l的方程．（其中点C是圆的圆心）

Answer 1

分析 （1）直线l无斜率时，直线l的方程为x=1，成立；直线l有斜率时，设方程为kx-y-k=0，由圆心到直线的距离等于半径，能求出直线l的方程．
（2）△CPQ面积最大时，△CPQ是等腰直角三角形，此时圆心到直线的距离为$\sqrt{2}$，设直线l的方程为kx-y-k=0，由此能求出直线l的方程．

解答 解：（1）直线l无斜率时，直线l的方程为x=1，
此时直线l和圆C相切．
直线l有斜率时，设方程为y=k（x-1），即kx-y-k=0，
∵l与圆C相切，∴圆心到直线的距离等于半径，
即$d=\frac{{|{3k-4-k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2$，
解得k=$\frac{3}{4}$，∴直线l的方程为$y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}$
（2）△CPQ面积最大时，∠PCQ=90°，$S=\frac{1}{2}×2×2=2$，
即△CPQ是等腰直角三角形，
由半径r=2得：圆心到直线的距离为$\sqrt{2}$
设直线l的方程为：y=k（x-1），即kx-y-k=0，
则$d=\frac{{|{2k-4}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$，∴k=7或k=1，
∴直线l的方程为：y=7x-7，y=x-1．

点评 本题考查直线方程的求法、直线与椭圆位置关系，本题突出对运算能力、化归转化能力的考查，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．