Question

9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到的图象关于点（$\frac{π}{6}$，-1）对称，则m的最小值是（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{5}{6}$π
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 由周期求出ω，由最值以及特殊点求A、B，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式；利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得m的最小值．

解答 解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象，
可得y轴右侧第一条对称轴为x=$\frac{-\frac{π}{12}+\frac{π}{4}}{2}$=$\frac{π}{12}$，故$\frac{T}{2}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{12}$，∴ω=2．
∵x=$\frac{7π}{12}$时函数取得最小值，故有2•$\frac{7π}{12}$+φ=$\frac{3π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$．
再根据B-A=-3，且Asin（2•$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$）+B=$\frac{A}{2}$+B=0，∴A=2，B=-1，即f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-1．
将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到y=g（x）=2sin（2x+2m+$\frac{π}{3}$）-1的图象，
根据得到的函数g（x）图象关于点（$\frac{π}{6}$，-1）对称，可得2•$\frac{π}{6}$+2m+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，
∴m=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{3}$，则m的最小值是$\frac{π}{6}$，
故选：A．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由最值以及特殊点求A、B，由五点法作图求出φ的值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．