Question

9．已知等比数列{a_n}的前n项和是S_n，且S₃=7，S₆=63．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令f（n）=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+{2}^{1006}}$，求数列{f（n）}的前2013项之和T₂₀₁₃．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q≠1，由S₃=7，S₆=63，可得$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}$=7，$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$=63，化简1+q³=9，解得q．
（2）f（n）=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+{2}^{1006}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n-1}+{2}^{1006}}$，可得f（n）+f（2014-n）=1，即可数列{f（n）}的前2013项之和T₂₀₁₃．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q≠1，∵S₃=7，S₆=63，∴$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}$=7，$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$=63，
∴1+q³=9，解得q=2．
∴a₁=1，∴a_n=2^n-1．
（2）f（n）=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+{2}^{1006}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n-1}+{2}^{1006}}$，∴f（n）+f（2014-n）=$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n-1}+{2}^{1006}}$+$\frac{{2}^{2013-n}}{{2}^{2013}+{2}^{1006}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n-1}+{2}^{1006}}$+$\frac{{2}^{2013-n}•{2}^{n-1}}{{2}^{2013-n}•{2}^{n-1}+{2}^{1006}•{2}^{n-1}}$=1，
∴数列{f（n）}的前2013项之和T₂₀₁₃=$\frac{1}{2}×（1×2013）$=$\frac{2013}{2}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．