Question

5．已知定圆M：（x-3）²+y²=16和圆M所在平面内一定点A，点P是圆M上一动点，线段PA的垂直平分线l交直线PM于点Q．
（Ⅰ）讨论Q点的轨迹可能是下面的情形中的哪几种：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．
（Ⅱ）若定点A（5，0），试求△QMA的面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）对A与圆M的位置关系进行讨论，利用圆锥曲线的定义得出结论；
（II）求出Q的轨迹所在椭圆的长短轴和焦距，得出三角形面积的最大值．

解答 解：（I）∵Q是线段PA的中垂线上的点，∴QA=PQ，
（1）若A在圆M外部，则|QA-QM|=|PQ-QM|=PM=4，MA＞4，
∴Q点轨迹是以A，M为焦点的双曲线；
（2）若A在圆M上，则PA的中垂线恒过圆心M，
即Q的轨迹为点M；
（3）若A在圆M内部，则MA＜4，QM+QA=QM+QP=4，
∴Q点轨迹是以M，A为焦点的椭圆；
（4）若A为圆M的圆心，即A与M重合时，Q为半径PM的中点，
∴Q点轨迹是以M为圆心，以2为半径的圆．
综上，Q点轨迹可能是①②④⑥四种情况．
（II）∵（5-3）²+0²＜16，∴A点在圆M内部，且不与圆心M（3，0）重合，
∴Q轨迹是以M，A为焦点的椭圆，
设此椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，
MA=2c=2，QA+MM=PM=2a=4，
∴c=1，a=2，∴b=$\sqrt{3}$．
∴当Q为椭圆短轴端点时，△QMA的面积取得最大值，
△QMA面积最大值为$\frac{1}{2}×2c×b$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了圆锥曲线的定义，性质，属于中档题．