随着教育制度和高考考试制度的改革.高校选拔人才的方式越来越多．某高校向一基地学校投放了一个保送生名额.先由该基地学校初选出10名优秀学生.然后参与高校设置的考核.考核设置了难度不同的甲.乙两个方案.每个方案都有M两个考核内容.最终选择考核成绩总分第一名的同学定为该高校在基地校的保送生．假设每位同学完成每个方案中� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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6．随着教育制度和高考考试制度的改革，高校选拔人才的方式越来越多．某高校向一基地学校投放了一个保送生名额，先由该基地学校初选出10名优秀学生，然后参与高校设置的考核，考核设置了难度不同的甲、乙两个方案，每个方案都有M（文化）、N（面试）两个考核内容，最终选择考核成绩总分第一名的同学定为该高校在基地校的保送生．假设每位同学完成每个方案中的M、N两个考核内容的得分是相互独立的．根据考核前的估计，某同学完成甲方案和乙方案的M、N两个考核内容的情况如表：
表1：甲方案

考核内容	M（文化）		N（面试）
得分	100	80	50	20
概率	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{4}$

表2：乙方案

考核内容	M（文化）		N（面试）
得分	90	60	30	10
概率	$\frac{9}{10}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{9}{10}$	$\frac{1}{10}$

已知该同学最后一个参与考核，之前的9位同学的最高得分为125分．
（I）若该同学希望获得保送资格，应该选择哪个方案？请说明理由，并求其在该方案下获得保送资格的概率；
（II）若该同学选用乙方案，求其所得成绩X的分布列及其数学期望EX．

分析（I）该同学希望获得保送资格，应该选择甲方案．计算选择甲乙方案最高得分与125比较即可得出结论．记“该同学完成考核M得100分”记为事件A，记“该同学完成考核N得50分”记为事件B，则P（A）=$\frac{3}{4}$，P（B）=$\frac{3}{4}$．记“该同学获得保送资格”为事件C，可得P（C）=P（AB）+P$（\overline{A}B）$．
（II）若该同学选择乙方案，则X=120，100，90，70．理由相互独立事件的概率计算公式可得分布列及其数学期望．

解答解：（I）该同学希望获得保送资格，应该选择甲方案．理由如下：
选择甲方案最高得分为：100+50=150＞125分，可能获得第一名即保送资格．
选择乙方案最高得分为：90+30=120＜125分，不可能获得第一名即保送资格．
记“该同学完成考核M得100分”记为事件A，记“该同学完成考核N得50分”记为事件B，则P（A）=$\frac{3}{4}$，P（B）=$\frac{3}{4}$．记“该同学获得保送资格”为事件C，则P（C）=P（AB）+P$（\overline{A}B）$=$\frac{3}{4}×\frac{3}{4}$+$\frac{1}{4}×\frac{3}{4}$=$\frac{3}{4}$．∴该同学获得保送资格的概率为$\frac{3}{4}$．
（II）若该同学选择乙方案，则X=120，100，90，70．
P（X=120）=$\frac{9}{10}$×$\frac{9}{10}$=$\frac{81}{100}$，P（X=100）=$\frac{9}{10}$×$\frac{1}{10}$=$\frac{9}{100}$，P（X=90）=$\frac{1}{10}$×$\frac{9}{10}$=$\frac{9}{100}$，P（X=70）=$\frac{1}{10}$×$\frac{1}{10}$=$\frac{1}{100}$．
∴X的分布列为：

X	120	100	90	70
P	$\frac{81}{100}$	$\frac{9}{100}$	$\frac{9}{100}$	$\frac{1}{100}$

∴E（X）=120×$\frac{81}{100}$+100×$\frac{9}{100}$+90×$\frac{9}{100}$+70×$\frac{1}{100}$=115．

点评本题考查了相互独立与对立事件的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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