Question

等比数列{a_n}中，已知a₁=2，a₄=16．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n．
（2）记b_n=log₂a_n，求{

1

bnbn+1

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，由已知条件得2q³=16，由此能求出数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n．
（2）由b_n=log₂a_n=n，得

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂项求和法能求出{

1

bnbn+1

}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a₁=2，a₄=16，∴2q³=16，解得q=2，
∴an=2•2n-1=2n，
S_n=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2．（6分）
（2）∵b_n=log₂a_n，an=2n，∴b_n=n（8分），

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，（10分）
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

．（12分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．