Question

列三角形数表
       1-----------第一行
     2   2-----------第二行
   3   4    3-----------第三行
  4   7    7   4-----------第四行
5   11  14  11   5
…
假设第n行的第二个数为a_n（n≥2，n∈N^*）
（1）依次写出第六行的所有数字；
（2）归纳出a_n+1与a_n的关系式并求出a_n的通项公式；
（3）设a_nb_n=1，求证：b₂+b₃+…+b_n＜2．

Answer 1

考点：数列的求和,归纳推理

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（I）根据三角形数表，两侧数为从1开始的自然数列，中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和的规律写出来．
（II）依据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”则第二个数等于上一行第一个数与第二个数的和，即有a_n+1=a_n+n（n≥2），再由累加法求解．
（III）由a_nb_n=1，解得数列的通项，利用裂项法求和，即可证得结论．

解答： （Ⅰ）解：第六行的所有6个数字分别是6，16，25，25，16，6；
（Ⅱ）解：依题意a_n+1=a_n+n（n≥2），a₂=2，
a_n=a₂+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+…+（a_n-a_n-1）
=2+2+3+…+（n-1）=2+

(n-2)(n+1)

2

，
∴a_n=

1

2

n²-

1

2

n+1；
（Ⅲ）证明：∵a_nb_n=1，∴b_n=

2

n2-n+2

＜

2

n2-n

=2（

1

n-1

-

1

n

），
∴b₂+b₃+…+b_n=2[（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+（

1

n-1

-

1

n

）]=2（1-

1

n

）＜2．

点评：本题通过三角数表构造了一系列数列，考查了数列的通项及求和的方法，考查裂项法的运用，属于中档题．