Question

已知奇函数f（x）=

-2x+a

2x+1+b

（a，b∈R）． 
（1）求a与b的值；
（2）求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）针对0∈D和若0∉D两种情形进行讨论，利用奇函数这个条件建立关系式，求解相应的值；
（2）直接利用指数函数的值域情形进行求解．

解答： 解：（1）设函数f（x）的定义域为D，
①若0∈D，因为函数f（x）为奇函数，
∴f（0）=0，a=1，f（1）=-

1

4+b

，f（-1）=

1

2+2b

，
∵f（1）+f（-1）=0，
∴b=2，
②若0∉D，因为函数f（x）为奇函数，
根据（1），b=-2，
∵f（1）+f（-1）=0，
∴a=-1，
∴

a=1 b=2

或

a=-1 b=-2

（2）若a=1，b=2，
∴f（x）=

-2x+1

2x+1+2

，
∴2f（x）=

-2x+1

2x+1

=-1+

2

1+2x

，
∵1+2^x∈（1，+∞），
∴

2

1+2x

∈（0，2），
∴f（x）∈（-

1

2

，

1

2

）．
若a=-1，b=-2，
∵f（x）=

-2x-1

2x+1-2

，2f（x）=

-2x-1

2x-1

=-1-

2

2x-1

，
∴f（x）∈（-∞，

1

2

）∪（

1

2

，+∞）．
综上，若a=1，b=2，函数f（x）的值域（-

1

2

，

1

2

）．
若a=-1，b=-2，函数f（x）的值域（-∞，

1

2

）∪（

1

2

，+∞）．

点评：本题综合考查了函数的性质、函数的单调性与值域、指数函数的图象与性质等知识，属于中档题．