Question

已知抛物线C₁：x²=y，圆C₂：x²+（y-4）²=1的圆心为点M．
（1）求点M到抛物线C₁的准线的距离；
（2）已知点P是抛物线C₁上一点（异于原点），过点P作圆C₂的两条切线，交抛物线C₁于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求点P的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）圆心M（0，4），抛物线C₁的准线为y=-

1

4

，易求距离；
（2）设P（x₀，x₀²），A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），设过点P的圆C₂的切线方程为y-x₀²=k（x-x₀），即kx-y-kx₀+x₀²=0①，则d=r=1⇒（ x₀²-1）k²+2 x₀（4-x₀²）k+（ x₀²-4）²-1=0，设PA，PB的斜率为k₁，k₂（k₁≠k₂），则k₁，k₂是上述方程的两根，联立①与x²=y得x²-kx+kx₀-x₀²=0，由韦达定理及k_AB•K_MP=-1可求得x₀，进而得到点P坐标；

解答： 解：（1）圆心M（0，4），抛物线C₁的准线为y=-

1

4

，
∴点M到抛物线C₁的准线的距离为4-（-

1

4

）=

17

4

．
（2）设P（x₀，x₀²），A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），
则由题意得x₀≠0，x₀≠±1，x₁≠x₂，
设过点P的圆C₂的切线方程为y-x₀²=k（x-x₀），即kx-y-kx₀+x₀²=0①，
则d=r=1⇒（ x₀²-1）k²+2 x₀（4-x₀²）k+（ x₀²-4）²-1=0，
设PA，PB的斜率为k₁，k₂（k₁≠k₂），则k₁，k₂是上述方程的两根，
∴k₁+k₂=

2x0(x02-4)

x02-1

，k₁•k₂=

(x02-4)2-1

x02-1

，
将①代入x²=y得x²-kx+kx₀-x₀²=0，
由于x₀是此方程的根，点A或B是过点P作圆C₂的两条切线与抛物线C₁相交的交点，
故x₀+x₁=k₁，x₀+x₂=k₂，⇒x₁=k₁-x₀，x₂=k₂-x₀，
∴k_AB=

x12-x22

x1-x2

=x₁+x₂=k₁+k₂-2x₀=

2x0(x02-4)

x02-1

-2x₀，
又K_MP=

x02-4

x0

，
∵MP⊥AB，∴k_AB•K_MP=[

2x0(x02-4)

x02-1

-2x₀]•（

x02-4

x0

）=-1，
⇒

-6x0

x02-1

•

x02-4

x0

=-1，解 x02=

23

5

，
∴点P的坐标为（±

115

5

，

23

5

）．

点评：本题考查抛物线圆的方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查方程思想，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，综合性强，难度大．