Question

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD和侧面BCC₁B₁都是矩形，E是CD的中点，D₁E⊥CD，AB=2BC=2．
（1）求证：BC⊥D₁E；
（2）若AA₁=

2

，求三棱锥D₁-B₁CB的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,棱柱的结构特征,棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：转化思想,空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件推导出BC⊥CD，BC⊥CC₁，从而得到BC⊥平面DCC₁D₁，由此能够证明BC⊥D₁E．
（2）DD₁∥B₁BCC₁，三棱锥D₁-B₁CB的体积等于三棱锥D-B₁CB的体积，就是三棱锥B₁-DCB的体积，B₁到底面DCB的距离就是D₁E，求出底面面积以及高，即可求出体积．

解答： （1）证明：∵底面ABCD和侧面BCC₁B₁是矩形，
∴BC⊥CD，BC⊥CC₁，
又∵CD∩CC₁=C，
∴BC⊥平面DCC₁D₁，
∵D₁E?平面DCC₁D₁，∴BC⊥D₁E．
（2）在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁∥B₁BCC₁，
∴三棱锥D₁-B₁CB的体积等于三棱锥D-B₁CB的体积，
就是三棱锥B₁-DCB的体积，B₁到底面DCB的距离就是D₁E，
在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD和侧面BCC₁B₁都是矩形，E是CD的中点，
D₁E⊥CD，AB=2BC=2．
AA₁=

2

，
∴D₁E=

DD12-DE2

=

2-1

=1．
所求体积：V=

1

3

S△DCB•D1E=

1

3

×

1

2

×2×2×1=

2

3

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面平行的性质，几何体的体积的求法，考查线段长的求法，解题时要认真审题．考查转化思想．