Question

已知等比数列{a_n}中各项均为正，有a₁=2，a_n+1²-a_n+1a_n-2a_n²=0，等差数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线y=x+2上．
（1）求a₂和a₃的值；
（2）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n；
（3）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出a22 -a2a1-2a12=0，a32-a3a2-2a22=0，由此能求出a₂和a₃的值．
（2）由已知条件推导出数列{a_n}是以2为首项、2为公比的等比数列，从而得到an=2n；数列{b_n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，从而得到b_n=2n-1．
（3）由（1）得cn=(2n-1)•2n，由此利用错位相减求和法能求出T_n．

解答： 解：（1）∵an+12-an+1an-2an2=0，
∴a22 -a2a1-2a12=0，
又a₁=2，解得a₂=4，或a₂=-2（舍）…（2分）
a32-a3a2-2a22=0，
解得a₃=8，或a₃=-4（舍），…（4分）
（2）∵an+12-an+1an-2an2=0，
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-2a_n）=0，
∵{a_n}中各项均为正，∴

an+1

an

=2，
又a₁=2，∴数列{a_n}是以2为首项、2为公比的等比数列，
∴an=2n，…（6分）
∵点P（b_n，b_n+1）在直线y=x+2上，
∴b_n+1=b_n+2，
又b₁=1，∴数列{b_n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴b_n=2n-1．…（8分）
（3）由（1）得cn=(2n-1)•2n
∴T_n=a₁•b₁+a₂•b₂+…+a_n•b_n
=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）2ⁿ，
∴2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）2ⁿ+（2n-1）2ⁿ⁺¹…（10分）
∴-T_n=1×2+（2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ）-（2n-1）2ⁿ⁺¹，…（12分）
即：-T_n=1×2+（2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）-（2n-1）2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-3）2ⁿ⁺¹+6…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．