Question

已知四棱锥P-ABCD的三视图和直观图如图所示，其中正视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形．E是侧棱PC上的动点．
（1）求证：BD⊥AE；
（2）若E为PC的中点，求直线BE与平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）要证BD⊥AE，只要证BD⊥面PAC，只需证BD⊥AC，BD⊥PC；
（2）要求直线BE与平面PBD所成角的正弦值，必须找到直线BE在平面PBD内的射影，由（1）易找面PBD的垂线，归结为解直角三角形．

解答： （1）证明：由已知PC⊥BC，PC⊥DC，BC∩DC=C，
∴PC⊥面ABCD
∵BD?面ABCD，
∴BD⊥PC，
∵BD⊥AC，PC∩AC=C，
∴BD⊥面PAC，
又∵AE?面PAC，∴BD⊥AE．
（2）解；连AC交BD于点O，连PO，
由（1）知BD⊥面PAC，∴面BED⊥面PAC，
过点E作EH⊥PO于H，则EH⊥面PBD，
∴∠EBH为BE与平面PBD所成的角．
∵EH=

1

3

，BE=

2

，
∴sin∠EBH=

1 3

2

=

2

6

．

点评：本题考查简单的空间图形的三视图，和线面垂直的判定和性质定理，以及线面角的求法等知识，综合性强，思维跨度大，体现了转化的思想方法，属中档题．