Question

如图，已知单位圆上两点P，Q关于直线y=x对称，且以x轴正半轴为始边、以射线OP为终边的角的大小为x．
（1）求点P，Q的坐标；
（2）若另有两点M（1，-1），N（-1，1），记f（x）=

MP

•

NQ

．
当点P在上半圆上运动（含与 x轴的交点）时，求函数f（x）的表达式；
（3）求函数f（x）最大值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算,任意角的三角函数的定义

专题：三角函数的求值

分析：（1）由三角函数的定义可得点P，由对称性可得Q的坐标；（2）可得

MP

和

NQ

的坐标，由数量积的运算可得f（x）的表达式；（3）由三角函数的知识，结合换元法和二次函数区间的最值可求．

解答： 解：（1）由题意可得点P（cosx，sinx），
由对称性可得Q的坐标（sinx，cosx）；
（2）又∵M（1，-1），N（-1，1），
∴

MP

=（cosx-1，sinx+1），

NQ

=（sinx+1，cosx-1），
∴f（x）=

MP

•

NQ

=2（cosx-1）（sinx+1），x∈[0，π]；
（3）由（2）知函数f（x）=2（cosx-1）（sinx+1），x∈[0，π]，
化简可得f（x）=2sinxcosx+2（cosx-sinx）-2，
令cosx-sinx=t，则t=cosx-sinx=

2

cos（x+

π

4

）∈[-1，

2

2

]，
∴t²=1-2sinxcosx，代入上式可得y=1-t²+2t-2=-（t-1）²，
由二次函数的知识可知当t=

2

2

时，上式取最大值

2 2 -3

2

∴函数f（x）最大值为：

2 2 -3

2

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及向量的数量积和二次函数区间的最值，属中档题．