Question

已知函数f（x）=alnx+

1

2

x2-（1+a）x．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≥0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明：对于任意不小于2的正整数n，不等式

1

ln2

+

1

ln3

…+

1

lnn

＞1-

1

n

恒成立．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，通过讨论a的取值范围得出函数的单调区间；
（Ⅱ）由于f(1)=-

1

2

-a，显然当a＞0时，f（1）＜0，此时f（x）≥0对定义域每的任意x不是恒成立的，当a≤0时，根据（1）得出即可；
（Ⅲ）当a=-

1

2

时，f(x)=-

1

2

lnx+

1

2

x2-

1

2

x≥0，等号当且仅当x=1成立，这个不等式即lnx≤x²-x，再将不等式变形即可证出．

解答： 解：∵f′(x)=

a

x

+x-(1+a)=

x2-(1+a)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

．
（Ⅰ）当a≤0时，若0＜x＜1，则f'（x）＜0，若x＞1，则f'（x）＞0，故此时函数f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）；
当0＜a＜1时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，a）	a	（a，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

所以函数f（x）的单调递增区间是（0，a），（1，+∞），单调递减区间是（a，1）；
当a=1时，f′(x)=

(x-1)2

x

≥0，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
当a＞1时，同0＜a＜1可得，函数f（x）的单调递增区间是（0，1），（a，+∞），
单调递减区间是（1，a）．
（Ⅱ）由于f(1)=-

1

2

-a，显然当a＞0时，f（1）＜0，此时f（x）≥0对定义域每的任意x不是恒成立的，
当a≤0时，根据（1），函数f（x）在区间（0，+∞）的极小值、也是最小值即是f(1)=-

1

2

-a，
此时只要f（1）≥0即可，解得a≤-

1

2

，故得实数a的取值范围是(-∞，-

1

2

]．
（Ⅲ）当a=-

1

2

时，f(x)=-

1

2

lnx+

1

2

x2-

1

2

x≥0，等号当且仅当x=1成立，
这个不等式即lnx≤x²-x，当x＞1时，可以变换为

1

lnx

＞

1

x2-x

=

1

(x-1)x

，
在上面不等式中分别令x=2，3，4…，n，

1

ln2

+

1

ln3

…+

1

lnn

＞

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=1-

1

n

∴

1

ln2

+

1

ln3

…+

1

lnn

＞1-

1

n

．

点评：本题考察了函数的单调性，利用导数求函数的单调区间，求参数的取值范围，以及不等式的证明，本题是一道综合题．