Question

已知函数f（x）=x-

2

x

，g（x）=a（2-lnx）．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在x=1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：求出两个函数的导函数，得到两函数在x=1时的导数值，由导数值相等求得a的值，然后分别求出两曲线上的
切点，由点斜式求得切线方程，最后加以判断．

解答： 解：由f（x）=x-

2

x

，g（x）=a（2-lnx），得
f′(x)=1+

2

x2

，g′(x)=-

a

x

．
∴f′（1）=3，g′（1）=-a．
由曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在x=1处的切线斜率相同，得
-a=3，即a=-3．
曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y-f（1）=3（x-1），
即y+1=3（x-1），整理得3x-y-4=0．
曲线y=g（x）在x=1处的切线方程为y-g（1）=3（x-1）．
即y+6=3（x-1），整理得3x-y-9=0，
∴两条切线不是同一条直线．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点出的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．