Question

已知f（x）=axe^kx-1，g（x）=lnx+kx．
（Ⅰ）求g（x）的单调区间；
（Ⅱ）当k=1时，f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（I）求出g′(x)=

1

x

+k，分当k≥0时，和k＜0时，讨论导函数在不同区间上的符号，进而可得g（x）的单调区间；
（II）若f（x）≥g（x）恒成立，即axe^x-1≥lnx+x，则a≥

lnx+x+1

xex

恒成立，构造函数h(x)=

lnx+x+1

xex

，利用导数法，求出函数的最值，进而可得答案．

解答： 解：（I）∵g（x）=lnx+kx，
∴g′(x)=

1

x

+k…（1分）
当k≥0时，g'（x）＞0在（0，+∞）恒成立，则 （0，+∞）是g（x）的增区间        …（2分）
当k＜0时，由g′(x)＞0⇒

1

x

＞-k⇒0＜x＜-

1

k

，
则 (0，-

1

k

)是g（x）的单调递增区间；
由g′(x)＜0⇒

1

x

＜-k⇒x＞-

1

k

，
则(-

1

k

，+∞)是g（x）的单调递减区间         …（4分）
（II）若f（x）≥g（x）恒成立，即axe^x-1≥lnx+x，则a≥

lnx+x+1

xex

恒成立  …（5分）
设h(x)=

lnx+x+1

xex

，h′(x)=

(1+x)ex-(xex+ex)(lnx+x+1)

(xex)2

=

(1+x)ex(-lnx-x)

(xex)2

…（6分）
令h′（x）＞0，则-lnx-x＞0，
令u（x）=-lnx-x，则u′（x）=-

1

x

-1＜0，
即u（x）=-lnx-x在（0，+∞）为减函数，且u（1）=-1＜0，u（

1

e

）=1-

1

e

＞0，
故?t∈（0，1）使u（t）=-lnt-t=0，…8分
∴当x∈（0，t）时，u（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在（0，t）上递增，
当x∈（t，+∞）时，u（x）＜0，即h′（x）＜0，h（x）在（t，+∞）上递减，
∴当x=t时，h（x）取最大值h（t）=

lnt+t+1

tet

=

1

tet

=

1

t• 1 t

=1，…10分
∴a≥1…12分

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，利用导数研究函数的最值，是导数的综合应用，难度中档．