Question

【题目】已知函数.

（1）若函数在点处的切线方程为，求函数的极值；

（2）若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，极小值为，当时，极大值为；（2）.

【解析】

（1）由求出，然后利用导数研究出的单调性即可

（2）不等式可变形为，由，且，得函数在上单调递减，令，则在上恒成立，即在上恒成立，然后利用导数求出右边的最小值即可.

（1）由题意得函数的定义域为，

由函数在点处的切线方程为，得，解得.

此时，.

令，得或.

当和时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

则当时，函数取得极小值，为，

当时，函数取得极大值，为.

（2）由得.

不等式可变形为，即.

因为，且，

所以函数在上单调递减.

令，

则在上恒成立，

即在上恒成立.

设，

则.

因为当时，，

所以函数在上单调递减，

所以，

所以，

即实数的取值范围为.