Question

【题目】已知数列的前项和为，且满足：.

（1）求，，的值；

（2）求证：数列是等比数列，并求通项公式；

（3）令，如果对任意，都有，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ,, ；(2)证明见解析，；(3) 或.

【解析】

(1)由已知，将代入，可求得，，的值.
(2) 由，有可得，即，可得到答案.
(3) 由（2），得，得出数列的单调性，得到，根据条件即得到即，可求出参数的范围.

(1)由，可得，即，所以.

，即，所以.

即，所以.

(2)由， ①

有 ，②

由②－①得，即，

所以，又，

故，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列.

所以，即.

(3)由（2），得，

则，

则当时，；

当时，.

所以

所以数列有最大值，即.

对任意，都有，即，解得或.

所以实数的取值范围或.