【题目】设函数.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,若不等式
恒成立,求整数m的最大值.
【答案】(1)当时,
在
单调递减,在
单调递增;
当时,
在
,
单调递增;在
单调递减;
当时,
在
上单调递增.
(2)的最大值为
【解析】
(1)对求导,得到
,设
,分为
,即
;
分
,
进行讨论,得到
的正负,即
的正负,从而得到
的单调性;
(2)根据题意将问题转化为不等式恒成立,设
则
,求导得到
,令
,根据
,得到
单调递增,从而得到存在唯一的
,使得
,得到
,通过
进行代换,得到
的范围,结合
为整数,从而得到
的最大值.
(1)函数,
所以,
设,其对称轴为
①时,即
时,
,
所以,在
上单调递增;
②时,即
时,由
得
,
1)时,即
时,
此时,
在
小于
,在
大于
所以在
单调递减,在
单调递增
2)时,即
时,
此时,
在
大于
,在
小于
,在
大于
,
所以在
,
单调递增;在
单调递减;
综上所述:
当时,
在
单调递减,在
单调递增;
当时,
在
,
单调递增;在
单调递减;
当时,
在
上单调递增.
(2)当时,若不等式
恒成立,
即不等式恒成立,
设,则
由,
,
,
所以在
恒成立,
所以在
单调递增,
又,
,
所以,存在唯一的,
使得①
且时,
,∴
单调递减,
时,
,∴
单调递增,
∴
由①代换可得
又,∴
,
又易知:在
单调递增,
所以,
又且
为整数.
所以的最大值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2019年是新中国成立七十周年,新中国成立以来,我国文化事业得到了充分发展,尤其是党的十八大以来,文化事业发展更加迅速,下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数(个)与对应年份编号的散点图(为便于计算,将 2013 年编号为 1,2014 年编号为 2,…,2018年编号为 6,把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量,把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析),得到回归直线,其相关指数
,给出下列结论,其中正确的个数是( )
①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强
②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个
③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为3192个
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】目前,新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐,为了解新冠肺炎传播途径,采取有效防控措施,某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息,数据经过汇总整理得到如下图所示的频率分布直方图(用频率作为概率).潜伏期不高于平均数的患者,称为“短潜伏者”,潜伏期高于平均数的患者,称为“长潜伏者”.
短潜伏者 | 长潜伏者 | 合计 | |
60岁及以上 | 90 | ||
60岁以下 | 140 | ||
合计 | 300 |
(1)求这500名患者潜伏期的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数;
(2)为研究潜伏期与患者年龄的关系,以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样,从上述500名患者中抽取300人,得到如下列联表,请将列联表补充完整,并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关:
(3)研究发现,有5种药物对新冠病毒有一定的抑制作用,其中有2种特别有效,现在要通过逐一试验直到把这2种特别有效的药物找出来为止,每一次试验花费的费用是500元,设所需要的试验费用为X,求X的分布列与数学期望.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设为给定的大于2的正整数,集合
,已知数列
:
,
,…,
满足条件:
①当时,
;
②当时,
.
如果对于,有
,则称
为数列
的一个逆序对.记数列
的所有逆序对的个数为
.
(1)若,写出所有可能的数列
;
(2)若,求数列
的个数;
(3)对于满足条件的一切数列,求所有
的算术平均值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业,在一个开学季内,每售出盒该产品获利润
元,未售出的产品,每盒亏损
元.根据历史资料,得到开学季市场需求量的频率分布直方图,如图所示.该同学为这个开学季购进了
盒该产品,以
(单位:盒,
)表示这个开学季内的市场需求量,
(单位:元)表示这个开学季内经销该产品的利润.
(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量的众数和平均数;
(2)将表示为
的函数;
(3)根据直方图估计利润不少于
元的概率.
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