Question

已知函数f（x）=x²+alnx（a为常数）．
（1）若a=-4，讨论f（x）的单调性；
（2）若a≥-4，求f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x的值；
（3）若对任意x∈[1，e]，f（x）≤（a+2）x都成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将a=-4代入，我们易得到函数f（x）的解析式，进而求出函数的导函数的解析式，分析导函数的符号，即可分析出f（x）的单调性；
（2）若a≥-4，我们对a进行分类讨论，易确定出函数f（x）在[1，e]上的单调性，进而可以求出f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x的值；
（3）若对任意x∈[1，e]，f（x）≤（a+2）x都成立，即a（x-lnx）≥x²-2x，构造函数φ(x)=

x2-2x

x-lnx

，可将问题转化为一个函数恒成立问题，由此求出函数的最小值，即可得到结论．

解答：解：（1）f（x）=x²-4lnx（x＞0），f'（x）=2x-

4

x

=

2(x2-2)

x

∴当x∈（0，

2

]时，f（x）是减函数；
当x∈[

2

，+∞），f（x）是增函数．
（2）a≥-4时，f（x）=x²+alnx，x∈[1，e]，f'（x）=

2x2+a

x

．
若a≥-2，f'（x）≥0恒成立，f（x）在[1，e]上递增，
则当x=1时，f（x）取最小值f（1）=1；
若-4≤a＜-2，f（x）在[1，

- a 2

]递减，在[

- a 2

，e]上递增，
则当x=

- a 2

时，f（x）取最小值f（

- a 2

）=-

a

2

+

1

2

aln（-

a

2

）．
（3）对x∈[1，e]，f（x）≤（a+2）x成立，
即x²+alnx≤（a+2）x，
即a（x-lnx）≥x²-2x，
而x∈[1，e]，x＞lnx，
故a≥

x2-2x

x-lnx

，记φ(x)=

x2-2x

x-lnx

，x∈[1，e]，φ′(x)=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

≥0（仅当x=1时取等号）
∴φ(x)≤φ(e)=

e2-2e

e-1

∴所求a的取值范围是[

e2-2e

e-1

，+∞]．

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用函数研究函数的极值，求不等式在某个区间上恒成立，往往要构造函数，利用导数法，求出函数的最值，进而得到答案．