Question

本题满分14分）已知函数，，其中．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

   （I）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；

   （II）设函数  是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解析：（I）因，，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有，于是，得，而当时有在上有两个相等的实根，故舍去，所以；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（II）当时有；

当时有，因为当时不合题意，因此，

下面讨论的情形，记A，B=（）当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，（）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合（）（）；

当时A=B，则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的；

同理，，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m