Question

16．若函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）在[-2，1]上的最大值为4，最小值为b，且函数g（x）=（2-7b）x是减函数，则a+b=1．

Answer 1

分析 根据指数函数的图象及性质求其在[-2，1]的最值关系，再由g（x）=（2-7b）x是减函数，2-7b＜0，求出a、b的值即可．

解答 解：由题意，函数g（x）=（2-7b）x是减函数；
∴2-7b＜0，
解得b＞$\frac{2}{7}$；
根据指数函数的图象及性质可知：
当a＞1时，函数f（x）=a^x在[-2，1]上是在增函数，
则有a^-2=b，a=4，
解得：b=$\frac{1}{16}$，不满足题意，故a≠4；
当1＞a＞0时，函数f（x）=a^x在[-2，1]上是减函数，
则有a^-2=4，a=b，
解得：a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{2}$，满足题意，
故a+b=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了指数函数的图象及性质，对底数的讨论和求最值的问题，是综合性题目．