Question

【题目】平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，过F的直线交于B，C两点.

（1）若垂直于轴，且线段BC的长为1，求的方程；

（2）若的斜率为，求；

（3）设抛物线上异于的点A满足，若的重心在轴上，求的重心的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或．

【解析】

（1）直线方程为，与抛物线方程联立，可得交点坐标，从而得，由此可求得，得抛物线方程；

（2）设，不妨设在第一象限，在第四象限，即，直线方程为，．求出，，再由直线方程与抛物线方程联立，消去后可得，代入中，可得结论；

（3）分类，与轴垂直，重心为；与轴不垂直，与（2）一样，设方程为，，仿（2）得，重心在轴．则有

，从而可得，于是也有，设中点为，由中点坐标公式求得，利用可求得，最终可得出直线方程，它与交点为所求重心．

（1）由，∴，

∴抛物线的方程为：；

（2）设，不妨设在第一象限，在第四象限，即，直线方程为，．

∵，，

∴，

由得，∴，．

∴；

（3）若垂直于轴，则由得，此时重心坐标为．

若直线与轴不垂直，设方程为，，

则，由（2），∴，，

设线段中点为，

则，，

∴直线斜率为（与垂直），∴，，

此时，从而直线方程为，它与轴交点为，此即为所求重心坐标．

综上，的重心为或．