Question

已知函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）为偶函数，如果点A（x，y）在函数f（x）的图象上，且点B（x，y²+1）在g（x）=f（x²+c）的图象上．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设F（x）=g（x）-λf（x）．是否存在实数λ，使F（x）在上为减函数，且在上为增函数？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=x²+bx+c为偶函数，故f（-x）=f（x），即有（-x）2+b（-x）+c=x²+bx+c，解得b=0．
由因为点A（x，y）在函数f（x）的图象上，且点B（x，y²+1）在g（x）=f（x²+c）的图象上，所以c=1，所以f（x）=x²+1
（2）解：g（x）=f（x²+1）=（x²+1）²+1=x⁴+2x²+2．
F（x）=g（x）-λf（x）=x⁴+（2-λ）x²+（2-λ），F（x₁）-F（x₂）=（x₁+x₂）（x₁-x₂）[x₁²+x₂²+（2-λ）]
由题设当x₁＜x₂＜时，（x₁+x₂）（x₁-x₂）＞0，x₁²+x₂²+（2-λ）＞++2-λ=3-λ，
则3-λ≥0，λ≤3；
当＜x₁＜x₂＜0时，（x₁+x₂）（x₁-x₂）＞0，x₁²+x₂²+（2-λ）＞++2-λ=3-λ，
则3-λ≥0，λ≥3故λ=3．
分析：利用偶函数的定义列出恒成立的等式，求出b的值；再点A（x，y）在函数f（x）的图象上，且点B（x，y²+1）在g（x）=f（x²+c）的图象上，求出b，c的值；
（2）由f（x）求g（x），再求F（x）解析式，求F（x₁）-F（x₂）的表达式，最后要变形为因式相乘的形式；根据单调性得出这个式子的正负，从而得出λ的范围，由两个范围取交集可得λ的值．
点评：解决函数的奇偶性问题，一般利用奇函数、偶函数的定义找关系；注意具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称；求参数的值，用函数的单调性定义求解，属于定义的逆用，知单调性来判断差的正负．