Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2（a_n-1）（n∈N^*）
（1）证明数列{a_n}是等比数列　　　
（2）求数列{a_n}的第5项到第10项的和S．

Answer 1

分析：（1）根据a₁=S₁算出a₁=2，当n≥2时由a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，算出a_n=2a_n-1，从而得出{a_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列；
（2）由等比数列的通项公式，结合（1）的结论算出a_n=2ⁿ，再利用题中等式得出S_n=2ⁿ⁺¹-2，从而数列{a_n}的第5项到第10项的和S=S₁₀-S₅=1984．

解答：解：（1）∵S_n=2（a_n-1），…①
∴当n=1时，a₁=S₁=2a₁-2，可得a₁=2，
则当n≥2，n∈N^*时，S_n-1=2（a_n-1-1）…②
①-②，得a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
整理得a_n=2a_n-1，（n≥2）
∴{a_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列．
（2）由（1）得a_n=2×2^n-1=2ⁿ，可得S_n=2（a_n-1）=2ⁿ⁺¹-2
因此数列{a_n}的前10项的和S₁₀=2¹¹-2，前5项的和S₅=2⁶-2，
∴数列{a_n}的第5项到第10项的和S=S₁₀-S₅=2¹¹-2⁶=1984．

点评：本题给出数列的通项a_n与S_n前n项和的关系式，求数列的通项公式．着重考查了等比数列的定义与通项公式、数列的通项与求和等知识，属于中档题．