Question

16．椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁，F₂，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，过F₁且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，A，B为椭圆C上的两点，O为坐标原点，设直线OA，OB，AB的斜率分别为k₁，k₂，k．
（1）求椭圆C的方程
（2）当k₁k₂-1=k₁+k₂时，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率结合隐含条件可得a²=4b²，再由点（-c，$\frac{1}{2}$）在椭圆上可求得a²，b²的值，则椭圆方程可求；
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=kx+b．联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可得${b^2}=-\frac{4}{3}{k^2}+\frac{8}{3}k+\frac{4}{3}$，联立△＞0与b²≥0求得k的取值范围．

解答 解：（1）由$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，又c²=a²-b²，∴a²=4b²，
又过F₁且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，
∴将$x=-c，y=\frac{1}{2}$代入椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，得$\frac{c^2}{{4{b^2}}}+\frac{{{{（{\frac{1}{2}}）}^2}}}{b^2}=1$，
即：$\frac{{3{b^2}}}{{4{b^2}}}+\frac{{{{（{\frac{1}{2}}）}^2}}}{b^2}=1$，解得b²=1，则a²=4．
∴椭圆C的方程为：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=kx+b．
由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\\{y=kx+b}\end{array}}\right.$，消去y得（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0．
则${x_1}+{x_2}=-\frac{8kb}{{4{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{b^2}-4}}{{4{k^2}+1}}$，
由k₁+k₂=k₁k₂-1得：$\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}-1$，即x₂y₁+x₁y₂=y₁y₂-x₁x₂，
将y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b代入得$（{{k^2}-2k-1}）{x_1}{x_2}+b（k-1）（{{x_1}+{x_2}}）+{b^2}=0$．
∴${b^2}=-\frac{4}{3}{k^2}+\frac{8}{3}k+\frac{4}{3}$，
联立△＞0与b²≥0得：$\left\{{\begin{array}{l}{16{k^2}-8k-1＞0}\\{-{k^2}+2k+1≥0}\end{array}}\right.$，解得$1-\sqrt{2}≤k$$＜\frac{1-\sqrt{2}}{4}$或$\frac{1+\sqrt{2}}{4}$＜k≤$1+\sqrt{2}$．
∴k的取值范围为$[{1-\sqrt{2}，\frac{{1-\sqrt{2}}}{4}}）∪（{\frac{{1+\sqrt{2}}}{4}，1+\sqrt{2}}]$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查“设而不求”的解题思想方法，属中档题．