Question

6．已知函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$．
（1）若sin$\frac{3π}{4}$sinφ-cos$\frac{π}{4}$cosφ=0，求φ的值；
（2）在（1）的条件下，函数f（x）图象相邻两对称轴之间的距离为$\frac{π}{3}$，求f（x）的解析式；
（3）在（2）条件下，将函数f（x）左移m个单位后得到偶函数时，求最小正实数m的值．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式及和角的余弦公式进行化简可求φ的值．
（2）由三角函数的性质可知，函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离即为周期的$\frac{1}{2}$T，从而可求T，然后根据周期公式T=$\frac{2π}{ω}$可求ω，从而可得f（x）的解析式．
（3）函数的图象向左平移m个单位后所对应的函数f（x+m）=sin（3x+3m+$\frac{π}{4}$）是偶函数，可得3×0+3m+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）从而可求m．

解答 解：（1）∵sin$\frac{3π}{4}$sinφ-cos$\frac{π}{4}$cosφ=0，
∴sin$\frac{π}{4}$sinφ-cos$\frac{π}{4}$cosφ=-cos（$\frac{π}{4}$+φ）=0，
∴$\frac{π}{4}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：φ=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$．
∴φ=$\frac{π}{4}$．
（2）∵由（1）可得f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）图象相邻两对称轴之间的距离为$\frac{π}{3}$，ω＞0，
∴$\frac{2π}{ω}$=2×$\frac{π}{3}$，解得：ω=3，
∴f（x）的解析式为：f（x）=sin（3x+$\frac{π}{4}$）．
（3）∵由（2）可得f（x）=sin（3x+$\frac{π}{4}$），将函数f（x）左移m个单位后得到偶函数．
∴f（x+m）=sin（3x+3m+$\frac{π}{4}$）是偶函数，
∴3×0+3m+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），
∴解得：m=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{12}$（k∈Z），
∴最小的正实数m是$\frac{π}{12}$．

点评 本题主要考查了诱导公式及两角和的余弦公式，考查了由三角函数的部分图象的性质求解函数的解析式，还考查了三角函数的性质的应用，属于中档题．