Question

1．设a，b，c分别表示△ABC的内角A，B，C的所对的边，$\overrightarrow m$=（a，-$\sqrt{3}$b），$\overrightarrow n$=（sinB，cosA），若a=$\sqrt{7}$，b=2，且$\overrightarrow m$⊥$\overrightarrow n$，则△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 利用平面向量共线的性质及正弦定理可得sinAsinB-$\sqrt{3}$sinBcosA=0，结合sinB≠0可求tanA，利用特殊角的三角函数值可求A，利用正弦定理可求sinB，根据同角三角函数基本关系式可求cosB，进而利用两角和的正弦函数公式可求sinC，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：∵$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，$\overrightarrow m$=（a，-$\sqrt{3}$b），$\overrightarrow n$=（sinB，cosA），
∴asinB-$\sqrt{3}$bcosA=0，
∴sinAsinB-$\sqrt{3}$sinBcosA=0．
又∵sinB≠0，
∴$tanA=\sqrt{3}$．
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{{\sqrt{7}}}{{sin\frac{π}{3}}}=\frac{2}{sinB}，\;\;∴sinB=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．
∵a＞b，∴A＞B，∴$cosB=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，
∴$sinC=sin（A+B）=sin（{B+\frac{π}{3}}）=sinBcos\frac{π}{3}+cosBsin\frac{π}{3}=\frac{{3\sqrt{21}}}{14}$，
∴△ABC的面积为$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查了平面向量共线的性质，正弦定理，特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．