Question

12．将f（x）=2sin2x的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，若函数y=g（x）在区间（a，b）上含有20个零点，则b-a的最大值为（　　）

• A． 10π
• B． $\frac{31}{3}$π
• C． $\frac{32}{3}$π
• D． 11π

Answer 1

分析 利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，依次变换即可求得函数y=g（x）的解析式，由条件根据正弦函数的图象的零点求得b-a的最大值．

解答 解：把函数y=2sin2x的图象上所有的点向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度，得到y=2sin2（x-$\frac{π}{6}$）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象，
再将y=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象上所有的点向下平移1个单位长度后所得函数图象的解析式是y=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1．
∵由g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）=1，
∴2x-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{6}$或2x-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$，
解得x=kπ+$\frac{π}{4}$或x=kπ+$\frac{7π}{12}$（k∈Z），
函数g（x）在每个周期上有20个零点，所以共有10个周期，
所以b-a最大值为10T+$\frac{2π}{3}$=$\frac{32π}{3}$．
故选：C．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的零点，属于基础题．