Question

已知a∈R，函数f（x）=

x

（x-a）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）函数的定义域为[0，+∞）．f′(x)=

x-a

2 x

+

x

=

3x-a

2 x

，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间．
（Ⅱ）利用分类讨论思想结合导数性质能求出函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）函数的定义域为[0，+∞）．
f′(x)=

x-a

2 x

+

x

=

3x-a

2 x

，
①当a≤0时，f′（x）＞0，x≠0，∴f（x）在[0，+∞）上为增函数．
②当a＞0时，当0≤x＜

a

3

时，f′（x）＜0；
当x＞

a

3

时，f′（x）＞0．
故f（x）在[0，

a

3

）上为减函数，在[

a

3

，+∞）上为增函数．
（Ⅱ）（1）当a≤0时，
由（Ⅰ）知f（x）在[1，2]上为增函数，∴f（x）_min=f（1）=1-a．
（2）当a＞0时，
①当a≥6时，2≤

a

3

，由（Ⅰ）知
f（x）在[1，2]上为减函数，∴f（x）_min=f（2）=

2

(2-a)；
②当3＜a＜6时，1＜

a

3

＜2，由（Ⅰ）知
f（x）在[1，

a

3

）上为减函数，在（

a

3

，2]上为增函数，
∴f（x）_min=f（

a

3

）=-

2a a

3

；
③当0＜a≤3时，

a

3

≤1，
由（Ⅰ）知f（x）在[1，2]上为增函数，
∴f（x）_min=f（1）=1-a．
综上所述，
f（x）_min=

1-a，a≤3 - 2a a 3 ，3＜a＜6 2 (2-a)，a≥6

．

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查函数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质和分类讨论思想的合理运用．