Question

已知a∈R，函数f（x）=（-x²+ax）e^x（x∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（-1，1）上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=（-x²+2x）e^x，f′（x）=-（x²-2）e^x
令f′（x）＞0，得x²-2＜0，∴-＜x＜
∴f（x）的单调递增区间是（-，）；
（Ⅱ）f′（x）=[-x²+（a-2）x+a]e^x，若f（x）在（-1，1）内单调递增，即当-1＜x＜1时，f′（x）≥0，
即-x²+（a-2）x+a≥0对x∈（-1，1）恒成立，
即a≥对x∈（-1，1）恒成立，
令y=，则y′=
∴y=在（-1，1）上单调递增，∴y＜1+1-=
∴
当a=时，当且仅当x=0时，f′（x）=0
∴a的取值范围是[，+∞）．
分析：（Ⅰ）求导函数，令f′（x）＞0，可得f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）f′（x）=[-x²+（a-2）x+a]e^x，若f（x）在（-1，1）内单调递增，即当-1＜x＜1时，f′（x）≥0，即-x²+（a-2）x+a≥0对x∈（-1，1）恒成立，分离参数求最值，即可求a的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．