Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的正整数n，都有a_n=5S_n+1成立，记（n∈N*），
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）记C_n=b_2n-b_2n-1（n∈N*），设数列{C_n}的前n和为T_n，求证：对任意正整数n，都有．

Answer 1

【答案】分析：（1）令n等于1代入a_n=5S_n+1中，即可求出首项a₁，然后把n换为n+1，利用a_n=5S_n+1表示出，它的值即为公比，得到此数列为等比数列，然后根据首项和公比写出数列的通项公式即可，因而可得出b_n的通项公式；
（2）根据b_n的通项公式，计算出c_n的通项公式，再比较Tn与 的大小；
解答：解：（1）∵5S_n=a_n-1
当n=1时，a₁=5a₁+1∴
当n≥2时，5a_n=5S_n-5S_n-1=a_n-1-（a_n-1-1）=a_n-a_n-1，
∴数列{a_n}成等比数列，其首项，公比
∴∴（n∈N*） （5分）
（2）由（1）知
∴=
又 b₁=3，∴
当n=1时，
当n≥2时，
（12分）
点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求出，会确定一个数列为等比数列，考查数列递推式的求解及相关计算．是一道综合题．