Question

已知函数f（x）=x³．
（Ⅰ）记φ(x)=f(x)+

t

3

f′(x)，(t∈R)，求φ（x）的极小值；
（Ⅱ）若函数h(x)=λ•

f′(x)

x

+sinx的图象上存在互相垂直的两条切线，求实数λ的值及相应的切点坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求导数，解方程φ′（x）=0，然后判断两根左右两侧导数符号，根据极小值的定义即可求得，注意讨论参数t；
（Ⅱ）h（x）=3λx+sinx⇒h'（x）=3λ+cosx，设两切点分别为（t₁，h（t₁）），（t₂，h（t₂）），则h'（t₁）h'（t₂）=-1，
利用关于λ的方程有解可求得等式，进而求得λ值及相应切点坐标．

解答：解：（Ⅰ）由已知：f（x）=x³，∴φ（x）=x³+tx²，φ′(x)=3x2+2tx=3x(x+

2t

3

)，
由φ'（x）=0⇒x=0，或x=-

2t

3

，
当t=0时，φ'（x）=3x²≥0，∴φ（x）在（-∞，+∞）为增函数，此时不存在极值；
当t＞0时，x变化时，φ'（x），φ（x）变化如下：

x	(-∞，- 2t 3 )	- 2t 3	(- 2t 3 ，0)	0	（0，+∞）
φ'（x）	+	0	-	0	+
φ（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

由上表可知：φ（x）_极小=φ（0）=0，
当t＜0时，x变化时，φ'（x），φ（x）变化如下：

x	（-∞，0）	0	(0，- 2t 3 )	- 2t 3	(- 2t 3 ，+∞)
φ'（x）	+	0	-	0	+
φ（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

由上表可知：φ(x)极小=φ(-

2t

3

)=

4

27

t3．
综上所述，当t＜0时，极小值为

7

24

t3；当t＞0时，极小值为0．
（Ⅱ）h（x）=3λx+sinx⇒h'（x）=3λ+cosx，
设两切点分别为（t₁，h（t₁）），（t₂，h（t₂）），则h'（t₁）h'（t₂）=-1，
即（3λ+cost₁）（3λ+cost₂）=-1，⇒9λ2+3(cost1+cost2)λ+(cost1cost2+1)=0 …(*)，
∵λ∈R，∴方程（*）的判别式△=[3(cost1+cost2)]2-36(cost1cost2+1)≥0，
即(cost1-cost2)2≥4，又-1≤cost₁≤1，-1≤cost₂≤1，∴(cost1-cost2)2≤4，
从而可得：(cost1-cost2)2=4，
上式要成立当且仅当

cost1=1 cost2=-1

，或

cost1=-1 cost2=1

，
此时方程（*）的解为λ=0，
∵x≠0，∴存在λ=0，此时函数h(x)=λ•

f′(x)

x

+sinx的图象在点（2kπ，0）（k∈Z，k≠0）处的切线和在点（2mπ+π，0）（m∈Z）处的切线互相垂直．

点评：本题考查利用导数求函数极值及导数的几何意义，考查学生运用所学导数知识分析问题解决问题的能力．