Question

下列命题：
①?x∈R，使f（x）=（m-1）x m2-4m+3 是幂函数；且在（0，+∞）上递减；
②若0＜log_a²＜log_b²，则a＞b＞1；
③已知a，b∈R^*，2a+b=1，则

2

a

+

1

b

有最小值8；
④已知向量

a

=（1，2），

b

=（2，0），若向量λ

a

+

b

与向量

c

=（1，-2）垂直，则实数λ等于-1．
其中，正确命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：根据幂函数的图象和性质，可判断①；根据对数的运算性质和对数函数的单调性，可判断②；根据基本不等式，求出

2

a

+

1

b

的最小值，可判断③；根据向量垂直的充要条件，可判断④．

解答： 解：当m=2时，f（x）=x^-1是幂函数；且在（0，+∞）上递减，故①正确；
若0＜log_a2＜log_b2，则若0=log₂1＜log₂b＜log₂a，即a＞b＞1，故②正确；
∵a，b∈R^*，2a+b=1，∴

2

a

+

1

b

=（

2

a

+

1

b

）（2a+b）=4+1+

2b

a

+

2a

b

≥5+4=9，当且仅当a=b=

1

3

时取等，故

2

a

+

1

b

有最小值为9，故③错误；
∵向量

a

=（1，2），

b

=（2，0），∴λ

a

+

b

=（λ+2，2λ），若向量λ

a

+

b

与向量

c

=（1，-2）垂直，则λ+2-2×2λ=0，即λ=

2

3

，故④错误；
故正确的命题为：①②，
故答案为：①②

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了幂函数，对数运算，基本不等式，向量垂直等知识点，难度不大，属于基础题．