Question

10．如图ABCD为矩形，CDFE为梯形，CE⊥平面ABCD，O为BD的中点，AB=2EF
（Ⅰ）求证：OE∥平面ADF；
（Ⅱ）若ABCD为正方形，求证：平面ACE⊥平面BDF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）如图，取AD的中点M，连接MF，OM．欲证明OE∥平面ADF，只需推知OE∥MF即可；
（Ⅱ）根据平面与平面垂直的判定定理进行证明即可．

解答 证明：（Ⅰ）如图，取AD的中点M，连接MF，OM，
因为ABCD为矩形，O为BD的中点，
所以OM∥AB，AB=2OM．
又因为CE⊥平面ABCD，
所以CE⊥CD．因为CDEF为梯形，
所以CD∥EF，
又因为AB=2EF，
所以EF∥OM，EF=OM，
所以EFMO为平行四边形，
所以OE∥MF，
又MF?ADF，所以OE∥平面ADF．
（Ⅱ）因为ABCD为正方形，O为BD的中点，
所以BD⊥AC，
又因为CE⊥平面ABCD，
所以BD⊥CE，
所以BD⊥平面ACE，
所以平面BDF⊥平面ACE．

点评 此题考查立体几何中直线与平面的位置关系，面面垂直问题，考查了空间想象能力．