Question

20．数列{a_n}的前项和为${S_n}（{n∈{N^*}}）$，且${a_1}=\frac{1}{2}，{S_n}={n^2}{a_n}（{n∈{N^*}}）$，利用归纳推理，猜想{a_n}的通项公式为（　　）

• A． ${a_n}=\frac{2n-4}{3^n}$
• B． ${a_n}=\frac{1}{{n（{n+1}）}}（{n∈{N^*}}）$
• C． ${a_n}=\frac{1}{2n}$
• D． ${a_n}=\frac{2}{n}$

Answer 1

分析 数列{a_n}中，前n项和为S_n，由a₁=$\frac{1}{2}$，S_n=n²a_n（n∈N^*），可得S₁；由S₂可得a₂的值，从而得S₂；同理可得S₃；可以猜想此数列的通项公式．

解答 解：在数列{a_n}中，前n项和为S_n，且a₁=$\frac{1}{2}$，S_n=n²a_n（n∈N^*），
∴S₁=a₁=$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{1×2}$；
∴S₂=$\frac{1}{2}$+a₂=4a₂，
∴a₂=$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{2×3}$，
∴S₃=$\frac{2}{3}$+a₃=9a₃，
∴a₃=$\frac{1}{12}$=$\frac{1}{3×4}$；
…
∴猜想此数列的通项公式a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$，
故选：B

点评 本题考查了用递推公式，通过归纳推理，求数列的前n项和为S_n，需要有一定的计算能力和归纳猜想能力．