Question

11．经过抛物线y²=2px焦点的弦的中点的轨迹是（　　）

• A． 抛物线
• B． 椭圆
• C． 双曲线
• D． 直线

Answer 1

分析 方法一：设直线ld的方程，代入抛物线方程，由韦达定理及中点坐标公式，即可求得M点坐标，消去k即可求得即可求得轨迹方程，即可求得答案．
方法二：设A，B坐标，利用点差法求得直线AB的斜率，由斜率公式取得MF的斜率，由k_AB=k_MF，即可求得中点的轨迹方程，即可求得答案．

解答 解：方法一：由题知抛物线焦点为（$\frac{p}{2}$，0）
直线斜率存在时，设焦点弦方程为y=k（x-$\frac{p}{2}$），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，k²x²-（k²+2）px+$\frac{{p}^{2}{k}^{2}}{4}$=0
由韦达定理：x₁+x₂=$\frac{{（k}^{2}+2）p}{{k}^{2}}$，则中点横坐标：x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{（{k}^{2}+2）p}{2{k}^{2}}$，
代入直线方程，中点纵坐标：y=k（x-p）=$\frac{p}{k}$．即中点为（$\frac{（{k}^{2}+2）p}{2{k}^{2}}$，$\frac{p}{k}$）
消参数k，得其方程为y²=px-$\frac{{p}^{2}}{2}$，
直线斜率不存在时，（$\frac{p}{2}$，0）也满足方程．
∴焦点的弦的中点的轨迹为抛物线，
故选A．
方法二：设抛物线的焦点F（$\frac{p}{2}$，0），弦AB的中点M（x，y），
过焦点的弦与抛物线相交于A，B两点，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}^{2}=2p{x}_{1}}\\{{y}_{2}^{2}=2p{x}_{2}}\end{array}\right.$，两式相减得：（y₁+y₂）（y₁-y₂）=2p（x₁x₂），
则k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{2p}{2y}$=$\frac{p}{y}$，
由直线MF的斜率k_MF=$\frac{y}{x-\frac{p}{2}}$，
由k_AB=k_MF，整理得：y²=px-$\frac{{p}^{2}}{2}$，
∴焦点的弦的中点的轨迹为抛物线，
故选A．

点评 本题考查抛物线的焦点弦中点的轨迹方程，直线与抛物线的位置关系，韦达定理，中点坐标公式，点差法的应用，考查计算能力，属于中档题．